План:
1 Математические модели.
2 Линейные модели САУ.
3 Типовые звенья.
4 Примеры Передаточные функции динамических объектов и цепей.
5 Моделирование систем управления с помощью MatLab.
1 Математические модели
Цель любого управления – изменить состояние объекта в соответствии с заданием. Для синтеза системы управления объектом необходимо знать, как она будет реагировать на разные воздействия, нужна модель системы: объекта, привода, датчиков, каналов связи, возмущений, шумов.
Для того чтобы изучить свойства сложной физической системы и научиться управлять ей, необходимо получить ее математическую модель. Для этого необходимо изучить и установить все взаимосвязи между переменными, характеризующими поведение системы.
Любой объект взаимодействует с внешней средой с помощью входов и выходов.
Входы – это возможные воздействия на объект, выходы – это те сигналы, которые можно измерить.
Входы независимы, они «приходят» из внешней среды. При изменении информации на входе меняется внутреннее состояние объекта(так называют его изменяющиеся свойства) и, как следствие, выходы:
Это значит, что существует некоторое правило, по которому элемент преобразует вход x в выход y. Это правило называется оператором. Запись
y=U[x]
означает, что выход y получен в результате применения оператора U ко входу x.
Построить модель – это значит найти оператор, связывающий входы и выходы. С его помощью можно предсказать реакцию объекта на любой входной сигнал.
При исследовании САУ в ТАУ, как правило, имеют дело не с физическими объектами, а с их математическими моделями. Характеристики элементов САУ могут быть заданы аналитически, графически или в виде таблиц, которые позволяют определить поведение элемента или системы в любой момент времени.
Одной из наиболее распространенных форм записи математической модели поведения САУ являются дифференциальные уравнения (обыкновенные и в частных производных).
Для составления математической модели, как правило, необходимо проделать три этапа:
1. Выделить физические величины, которые наиболее полно и правильно отражают поведение элемента;
2. Исходя из физической природы работы элемента составить функциональные связи между выделенными физическими величинами;
3. Полученную математическую модель привести к стандартному виду, с точки зрения процессов управления.
Решив ДУ, можно найти характер изменения регулируемой переменной в переходных и установившихся режимах при различных воздействиях на систему.
Для упрощения задачи нахождения ДУ, описывающего работу САУ в целом, систему разбивают на ее отдельные элементы, переходные процессы в которых описываются достаточно простыми ДУ. Так как ДУ описывают работу системы независимо от физической сущности протекающих в ней процессов, то при разбивке системы нет необходимости учитывать их физическую целостность. Для каждого элемента структурной схемы необходимо составить ДУ, определяющее зависимость изменения выходной величины от входной.
Так как выходная величина предыдущего элемента является входной для последующего, то, определив ДУ отдельных элементов, можно найти ДУ системы.
Для аналитического решения нелинейных ДУ учитывают, что в процессе регулирования отклонения всех изменяющихся величин от их установившихся значений малы, и поэтому возможна замена нелинейных ДУ приближенными линейными ДУ, то есть возможна линеаризация дифференциальных уравнений.
В функцию U (дифференциальное уравнение) входят также величины, называемые параметрами. Они связывают между собой аргументы (y(t), y'(t),… y(n)(t); x(t),…x(m)(t), t) и характеризуют свойства элемента с количественной стороны. Например, параметрами являются масса тела, активное сопротивление, индуктивность и емкость проводника и т. д.
Большинство реальных элементов описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, что значительно усложняет последующий анализ АСУ. Поэтому стремятся перейти от нелинейных к линейным уравнениям вида
Для всех реальных элементов выполняется условие m≤n .
Коэффициенты a0, a1…an и b0, b1…bm в уравнении называются параметрами.
2 Линейные модели САУ
Линейные системы можно разделить на три подкласса:
1. Системы с постоянными параметрами. Это такие системы, технические параметры которых (сопротивления, индуктивности, скорости вращения приводных двигателей и т.д.) остаются постоянными в течение времени работы САУ. Такие системы описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.
2. Линейные системы с переменными во времени параметрами. Коэффициенты дифференциальных уравнений в этом случае являются известными функциями времени rk= fk(t).
3. Линейные системы с чистым запаздыванием. Если в САУ содержится элемент чистого запаздывания, где τ – время чистого запаздывания (магнитофонная головка, магнитный усилитель быстродействующий).
Математически в теории автоматического управления элементы системы описываются передаточными функциями.
Передаточная функция
Исследование АСР существенно упрощается при использовании прикладных математических методов операционного исчисления.
Например, функционирование некоторой системы описывается ДУ вида
(2.1)
где х и у — входная и выходная величины.
Преобразование Лапласа
Если в уравнение (2.1) вместо x(t) и y(t) подставить функции X(s) и Y(s) комплексного переменного s такие, что
, (2.2)
то исходное ДУ при нулевых начальных условиях равносильно линейному алгебраическому уравнению
a2 s2 Y(s) + a1 s Y(s) + a0 Y(s) = b1 X(s) + b0 X(s)
Такой переход от ДУ к алгебраическому уравнению называется преобразованием Лапласа, формулы (2.2) соответственно формулами преобразования Лапласа, а полученное уравнение — операторным уравнением.
Новые функции X(s) и Y(s) называются изображениями x(t) и y(t) по Лапласу, тогда как x(t) и y(t) являются оригиналами по отношению к X(s) и Y(s).
Переход от одной модели к другой достаточно прост и заключается в замене знаков дифференциалов на операторы sn, знаков интегралов на множители , а самих x(t) и y(t) — изображениями X(s) и Y(s).
Для обратного перехода от операторного уравнения к функциям от времени используется метод обратного преобразования Лапласа. Общая формула обратного преобразования Лапласа:
, (2.3)
где f(t) — оригинал, F(jw) — изображение при s = jw, j — мнимая единица, w — частота.
Эта формула достаточно сложна, поэтому были разработаны специальные таблицы (см. табл. 1.1 и 1.2), в которые сведены наиболее часто встречающиеся функции F(s) и их оригиналы f(t). Они позволяют отказаться от прямого использования формулы (2.3).
Таблица 1.2 — Преобразования Лапласа
Оригинал x(t)
Изображение X(s)
d-функция
1
1
t
t2
tn
e-at
αx(t)
αX(s)
x(t — α)
X(s).e-as
sn.X(s)
αєR, MєR
(α и М — действительные числа)
M.e-at
α = α1 + jα2
M = M1 + j.M2
(α и М — комплекные)
2.e-α1t.[M1.cos(α2.t) — M2.sin(α2.t)]
При невозможности приведения функции к табличным данным можно воспользоваться 2-ой теоремой разложения
Закон изменения выходного сигнала обычно является функцией, которую необходимо найти, а входной сигнал, как правило, известен.
Определение передаточной функции
Преобразование ДУ по Лапласу дает возможность ввести удобное понятие передаточной функции, характеризующей динамические свойства системы.
Передаточной функцией называется отношение изображения выходного воздействия Y(s) к изображению входного X(s) при нулевых начальных условиях.
Передаточная функция является дробно-рациональной функцией комплексной переменной:
где B(s) = b0 + b1s + b2 s2 + … + bm sm — полином числителя,
А(s) = a0 + a1s + a2 s2 + … + an sn — полином знаменателя.
Передаточная функция имеет порядок, который определяется порядком полинома знаменателя (n).
Из (2.4) следует, что изображение выходного сигнала можно найти как
Y(s) = W(s)*X(s).
Так как передаточная функция системы полностью определяет ее динамические свойства, то первоначальная задача расчета АСР сводится к определению ее передаточной функции.
Последовательность действий для преобразования диф. уравнения в передаточную функцию прост. Пусть процесс описывается диф. уравнением в общем виде
где у – выходная величина;
х – входная величина;
– постоянные коэффициенты, которые определяются конструктивными особенностями и параметрами системы.
Используя оператор дифференцирования , который равен (т.е. запись можно представить как py), перейдем от диф. уравнения к уравнению в форме записи
Если вынести в уравнении y(p) и x(p) за скобки можно выделить собственный оператор объекта – Q(p) и оператор воздействия – R(p)
Передаточной функцией в операторной форме W(p) называют отношение оператора воздействия к собственному оператору при нулевых начальных условиях.
Передаточная функция W(s) получается из W(p) формальной подстановкой p=s. Такая связь между двумя формами передаточных функций справедлива только для стационарных систем!!!
Пример.
Найдем передаточную функцию
p2y(t) + 5py(t) + 6y(t) = 2px(t) + 12x(t),
вынесем x(t) и y(t) за скобки
где Q(p) — собственный оператор
R(p) — оператор воздействия.
Запишем передаточную функцию в изображениях Лапласа (формально произведем подстановку в передаточной функции p→s)
Допустим, входной сигнал имеет форму единичного ступенчатого воздействия, т.е. x(t) = 1. Тогда изображение входного сигнала X(s) = .
Тогда подставляем X(s)=1/s:
Тогда подставляем X(s):
Определяется выражение для Y:
Оригинал полученной функции отсутствует в таблице оригиналов и изображений. Для решения задачи его поиска дробь разбивается на сумму простых дробей с учетом того, что знаменатель может быть представлен в виде s(s + 2)(s + 3):
Сравнивая получившуюся дробь с исходной, можно составить систему из трех уравнений с тремя неизвестными:
Следовательно, дробь можно представить как сумму трех дробей:
Теперь, используя табличные функции, определяется оригинал выходной функции:
y(t) = 2 — 4.e-2t + 2.e-3t.
Временные характеристики
Одним из методов построения мат.моделей является определение реакции исследуемого объекта на стандартный сигнал.
Переходная функция – реакция системы на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях
Ступенчатое воздействие – воздействие, которое мгновенно возрастает от нуля до некоторого значения и далее остается постоянным
Ступенчатому воздействию соответствует функция
При анализе и расчете систем удобно использовать ступенчатое воздействие, у которого величина а0 = 1. Его называют единичным ступенчатым воздействием и обозначают 1(t). Математическое выражение, описывающее единичное ступенчатое воздействие, имеет вид
Импульсная характеристика – реакция системы на единичный импульс при нулевых начальных условиях.
Импульсное воздействие – одиночный импульс прямоугольной формы имеющий достаточно большую высоту и малую длительность (по сравнению с инерционностью испытываемой системы) с площадью а0.
При математическом анализе АСУ используют единичное импульсное воздействие, описываемое так называемой дельта-функцией
Частотные характеристики
Частотные характеристики характеризуют выход системы при гармонических сигналах разной частоты.
Гармоническое воздействие – сигнал синусоидальной формы, описываемый функцией
x(t) = xm sin(wt) , (-∞<t<∞),
где xm – амплитуда сигнала; = 2Pi / Т – круговая частота; Т – период сигнала.
3 Типовые звенья
Звеном системы называется ее элемент, обладающий определенными свойствами в динамическом отношении. Звенья систем регулирования могут иметь разную физическую основу (электрические, пневматические, механические и др. звенья), но относится к одной группе. Соотношение входных и выходных сигналов в звеньях одной группы описываются одинаковыми передаточными функциями.
Простейшие типовые звенья:
• пропорциональное (усилительное),
• интегрирующее,
• дифференцирующее,
• апериодическое,
• колебательное,
• запаздывающее.
1) Пропорциональное (усилительное) звено.
Звено усиливает входной сигнал в К раз. Уравнение звена y=Kx передаточная функция
W(s)=k
Параметр К называется коэффициентом усиления.
Выходной сигнал такого звена в точности повторяет входной сигнал, усиленный в К раз (рис. 1).
Примерами таких звеньев являются: механические передачи, датчики, безынерционные усилители и др.
2) Интегрирующее.
2.1) Идеальное интегрирующее.
Выходная величина идеального интегрирующего звена пропорциональна интегралу входной величины.
W(s)=K/s
При подаче на вход звена воздействия выходной сигнал постоянно возрастает (см. рис. 2).
Это звено астатическое, т.е. не имеет установившегося режима.
2.2) Реальное интегрирующее.
Передаточная функция этого звена имеет вид:
Переходная характеристика в отличие от идеального звена является кривой (рис. 3).
Примером интегрирующего звена является двигатель постоянного тока с независимым возбуждением, если в качестве входного воздействия принять напряжение питания статора, а выходного — угол поворота ротора.
3) Дифференцирующее.
3.1) Идеальное дифференцирующее.
Выходная величина пропорциональна производной по времени от входной:
W(s) = K*s
При ступенчатом входном сигнале выходной сигнал представляет собой импульс (δ-функцию).
3.2) Реальное дифференцирующее.
Идеальные дифференцирующие звенья физически не реализуемы. Большинство объектов, которые представляют собой дифференцирующие звенья, относятся к реальным дифференцирующим звеньям. Переходная характеристика и передаточная функция этого звена имеют вид:
4) Апериодическое (инерционное).
Этому звену соответствуют ДУ и ПФ вида:
Постоянная Т называется постоянной времени.
Большинство тепловых объектов являются апериодическими звеньями. Например, при подаче на вход электрической печи напряжения ее температура будет изменяться по аналогичному закону (рис. 5).
5) Колебательное звено имеет ДУ и ПФ вида
,
При подаче на вход ступенчатого воздействия амплитудой х0 на переходная кривая будет иметь один из двух видов:
— апериодический (при Т1 ≥ 2Т2) или
— колебательный (при Т1 < 2Т2).
Встречается также и другая трактовка
где d – коэффициент затухания (демпфирования), причем при выполнении условия 0
6) Запаздывающее.
y(t) = x(t — τ), W(s) = e-τs.
Выходная величина у в точности повторяет входную величину х с некоторым запаздыванием τ. Примеры: движение груза по конвейеру, движение жидкости по трубопроводу.
