Кинематики манипулятора
1. Определение ориентации и положения звеньев манипулятора
Задание специальных систем координат
Шаг
Действие 1 Построение абсолютной системы координат. Построить правую ортогональную систему координат OX0Y0Z0, направив Z0 вдоль оси первого сочленения в направлении схвата. 2 Инициализация и цикл. Для всех i = l,2,…N выполнить шаги 3-6. 3 Построение Zi. Направить ось Zi вдоль оси (i+1)-го шарнира. При i = N (т.е. для схвата) выберем ось ZN в направлении оси ZN-1 4 Построение начала і-й системы. Выбрать начало і-й системы координат в точке пересечения осей Zi и Zi-1 или в точке пересечении оси Zi и общей нормали к осям Ziи Zi-1 (если оси Zi и Zi-1 не пересекаются). 5 Построение оси Хi. Направить ось Хi вдоль обшей нормали к осям Zi и Zi-1 6 Построение оси Yi. Направить ось Yiтак, чтобы полученная в результате система координат OXiYiZiбыла правосторонней. 7 Нахождение параметров. Для всех i = 1. 2,…, N выполнить шаги 8-11. 8 Нахождение di. Параметр diравен расстоянию от начала (i-1)-й системы координат до точки пересечения осей Zi-1и Xiизмеренному в направлении оси Zi-1. Если i-e сочленение телескопическое, то d является обобщенной координатой. 9 Нахождение аi. Параметр аiравен расстоянию от точки пересечения осей Zi-1и Xi, до начала i-й системы координат, измеренному в направлении оси Xi. 10 Нахождение qi. Параметр qiравен углу поворота оси Xi-1вокруг оси Zi-1до ее совпадения с осью Xi. 11 Нахождение αi. Параметр αi. равен углу поворота оси Zi-1вокруг оси Xiдо ее совпадения с осью Zi.
Определение параметров:
qi = φi a = 0
2. Прямая и обратная задача.
Определение положения схвата манипулятора.
Записываем матрицы перехода между системами координат
Решение прямой задачи находится из
Нахождение обобщенных координат по заданному положению и ориентации схвата.
Обратную позиционную задачу формулируют следующим образом.
При заданном положении и ориентации схвата s или ТN
найти обобщенные координаты q = [q1, q2,…, qn].
Если s = fs(q) или TN = fT(q), то искомые углы q будут задаваться соотношением q = fs-1 (s) или q = fT -1 (TT).
Таким образом, решение обратной позиционной задачи сводится в общем случае к решению нелинейной тригонометрической системы шес¬ти уравнений с N неизвестными. Известно, что такого рода системы
могут:
1) не иметь ни одного решения. Это означает, что заданные положе¬ние и ориентация схвата системы не могут быть достигнуты никаким выбором углов (перемещений) в сочленениях;
2) иметь единственное решение;
3) иметь более одного решения. Это означает, что существует несколько (или бесконечно много) конфигураций манипулятора, обеспе-чивающих заданное положение схвата.
Методы решения обратной позиционной задачи.
1) Метод обратных преобразований.
Поскольку матрица Т, определяющая ориентацию и положение схвата, имеет вид Т=А1А2А3А4А5А6А7 и известна, то для нахождения q1 решаем уравнение
[А1 (q1 )]-1*Т= А2А3А4А5А6А7.
Если удалось найти q1, повторяем для q2, q3 и т.д.
2) Тригонометрический подход.
3) Численный метод.
Эти методы носят итерационный характер. Рассматривается задача поиска корня уравнения
f(q) = s.
3. Геометрия рабочего пространства манипулятора.
Обобщенные координаты
Двухзвенный механизм.
Пусть:
0<=theta1<=pi/2,
0<=theta2<=pi.
l1 = 10;
l2 = 7;
theta1 = 0:0.1:pi/2;
theta2 = 0:0.1:pi;
[THETA1, THETA2] = meshgrid(theta1, theta2);
X = l1 * cos(THETA1) + l2 * cos(THETA1 + THETA2);
Y = l1 * sin(THETA1) + l2 * sin(THETA1 + THETA2);
plot(X(:), Y(:), ‘r.’);
axis equal;
xlabel(‘X’)
ylabel(‘Y’)
