5.1 Требование к точности и быстродействию САУ
5.2 Показатели качества переходной характеристики
5.1 Требование к точности и быстродействию САУ
Каждая система автоматического регулирования характеризуется:
— устойчивостью,
— точностью в установившихся режимах,
— качеством переходных характеристик (быстродействие системы).
Если исследуемая САУ устойчива, то возникает вопрос о том, насколько качественно происходит регулирование в этой системе и удовлетворяет ли оно технологическим требованиям. На практике качество регулирования может быть определено визуально по графику переходной кривой, однако, имеются точные методы, дающие конкретные числовые значения.
Показатели качества условно разбиты на 4 группы:
1) прямые — определяемые непосредственно по кривой переходного процесса,
2) корневые — определяемые по корням характеристического полинома,
3) частотные — по частотным характеристикам,
4) интегральные — получаемые путем интегрирования функций.
5.2 Показатели качества переходной характеристики
Важное значение имеет переходный процесс, возникающий при быстром (мгновенном) изменении задающего воздействия или возмущения от одного значения к другому (ступенчатый единичный скачек или как еще называют функция «включения»). Чем с большей скоростью и плавностью протекает такой процесс, тем меньше его продолжительность и значение рассогласования.
Одной из оценок качества регулирования служит оценка переходной характеристики системы относительно задающего воздействия. Имеется ввиду, что чем лучше переходная характеристика, тем лучше система будет отрабатывать произвольное задающее воздействие.
Рисунок 5.1 – Схема определения прямых показателей качества по графику переходной характеристики
Переходные характеристики бывают монотонными и колебательными. На рисунке 5.1 приведена колебательная переходная характеристика.
Основные прямые показатели качества:
— перерегулирование σ;
— время регулирования (время процесса) tn;
— время первого согласования τ.
Перерегулирование (определяется величиной первого выброса) — отношение разности максимального значения переходной характеристики и ее установившегося значения к величине установившегося значения. Измеряется обычно в процентах.
Время регулирования — длительность переходного процесса. Правда, в идеальной системе переходный процесс бесконечен. Поэтому временем регулирования считают тот интервал времени, по истечении которого отклонения переходной характеристики от установившегося значения не превышают Δ. Значения Δ обычно принимают 5%, 2%, а иногда и 1%. Но такой выбор всегда оговаривается.
Существенным показателем служит Колебательность М, определяемая числом полных колебаний (число максимумов характеристики) за время переходного процесса. Обычно при = 5% М = 1 … 2 (желательно). Чем меньше эта величина, тем лучше.
Логарифмический декремент затухания δ характеризует скорость затухания колебательного процесса.
В системе кроме качества воспроизведения задающих воздействий анализируется подавление влияния возмущений. Таким образом, рассматривается переходная характеристика системы по возмущению hf . Особенность данной характеристики в том, что ее установившееся значение должно быть весьма малым в статической системе и равно нулю в астатической системе. Понятие перерегулирования для характеристики по возмущению не имеет смысла, и данные характеристики оценивают непосредственно максимальным значением hf max.
Оценка качества систем в установившемся режиме
Наиболее полной характеристикой качества системы в установившемся ре-жиме является ошибка:
Если к системе приложено два воздействия и более, то при вычислении ошибки удобно использовать принцип суперпозиции, т.е. вычислять установившиеся ошибки от каждого воздействия отдельно, а затем их складывать.
Числовыми характеристиками качества системы в установившемся режиме являются коэффициенты ошибок по задающему воздействию.
Представим установившуюся ошибку от задающего воздействия в виде ряда:
Введем понятие статической и астатической систем.
Система называется статической по воздействию g если cg0 ≠0
Система называется астатической по воздействию если cg0=0
При постоянном внешнем воздействии g = g0 установившаяся ошибка равна:
В статических системах установившаяся ошибка отлична от “0”, а в астатических установившаяся ошибка равна “0”.
По определению астатическая система обладает астатизмом r-го порядка, если первые r коэффициентов ошибок равны “0”, а r+1 коэффициент отличен от “0”.
Система называется статической, если статическая ошибка отлична от нуля и астатической – если статическая ошибка равна нулю.
Если cg0=0, то по определению производной
Если то можно показать что:
Система является астатической по задающему воздействию в том случае, если она содержит интегрирующее звено.
Если задающее воздействие является полиномом, то установившаяся ошибка конечна, если порядок астатизма системы равен порядку полинома, и равна нулю, если порядок астатизма больше порядка полинома.
Обычно бывает достаточно вычислить только первый отличный от нуля коэффициент ошибки. В этих случаях следует пользоваться последним приведенным соотношением, поскольку оно намного проще формул расчета через производные.
Пример. Пусть передаточная функция разомкнутой системы:
Тогда передаточная функция замкнутой системы равна:
Рассчитаем коэффициент позиционной ошибки:
Рассчитаем коэффициент скоростной ошибки:
Таким образом, видно, что система обладает астатизмом первого порядка и ошибка по задающему равна:
5.3 Корневые показатели качества
Переходная характеристика системы зависит от значения нулей и полюсов ее передаточной функции (вычисленные корни многочленов числителя и знаменателя передаточной функции). Эту зависимость можно использовать для оценки качества переходной характеристики.
В простейшем случае передаточная функция имеет вид:
В этом случае переходная характеристика зависит только от полюсов передаточной функции. Корень, ближайший к мнимой оси — доминирующий корень. Может быть и пара доминирующих корней, если они комплексные сопряженные.
Рисунок 5.2 – Определение корневых показателей качества
Расстояние доминирующих корней до мнимой оси — α0, — степень устойчивости системы. Степень устойчивости позволяет определить приближенно время переходного процесса.
Время переходного процесса (при Δh = 5 % )tn =α0 = 3T (рис. 5.3). Степень устойчивости не следует путать с запасом устойчивости.
Рисунок 5.3 – Связь степени устойчивости с временем регулирования процесса
Второй параметр, который определяется по плоскости корней — степень колебательности.
По величине степени колебательности можно приближенно определить значение перерегулирования переходной характеристики (когда комплексные корни являются доминирующими)
5.4 Частотные показатели качества
О них мы говорили ранее, но повторим. Частотные критерии качества применяют, когда известны или можно определить экспериментально частотные свойства САУ (АФХ, АЧХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ). Вид переходного процесса при этом не рассматривается. Обычно говорят о запасах устойчивости по амплитуде и фазе, частоте среза системы.
Определение запасов устойчивости по АФЧХ системы производится следующим способом:
— сроится АФЧХ системы (рис.5.4);
— проводится из начала координат окружность единичного радиуса;
— определяем точку пересечения АФЧХ системы с окружность – угол φm от отрицательной действительной полуоси до точки пересечения и дает запас устойчивости по фазе. Обычно требуется запас не менее 30°;
— определяется точка пересечения АФЧХ системы с отрицательной действительной полуосью и вычисляется запас устойчивости по амплитуде:
в практике требуется запас по амплитуде не менее 6 дБ.
Рисунок 5.4 – Определение запасов устойчивости по АФЧХ системы
Также запасы устойчивости можно определить по ЛАЧХ и ЛФЧХ системы (рис.5.5).
Рисунок 5.5 – Определение запасов устойчивости по ЛАЧХ и ЛФЧХ системы
Запасы показывают склонность системы к колебаниям: чем меньше запасы по амплитуде и фазе, тем медленнее затухает процесс.
