2 МОДЕЛИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ (Часть 2)

Линейные системы можно разделить на три подкласса:

1. Системы с постоянными параметрами. Это такие системы, технические параметры которых (сопротивления, индуктивности, скорости вращения приводных двигателей и т.д.) остаются постоянными в течение времени работы САУ. Такие системы описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.

2. Линейные системы с переменными во времени параметрами. Коэффициенты дифференциальных уравнений в этом случае являются известными функциями времени rk= fk(t).

3. Линейные системы с чистым запаздыванием. Если в САУ содержится элемент чистого запаздывания, где τ – время чистого запаздывания (магнитофонная головка, магнитный усилитель быстродействующий).

Математически в теории автоматического управления элементы системы описываются передаточными функциями

Передаточная функция

Исследование АСР существенно упрощается при использовании прикладных математических методов операционного исчисления.
Например, функционирование некоторой системы описывается ДУ вида

где х и у — входная и выходная величины.

Преобразование Лапласа

Если в уравнение (2.1) вместо x(t) и y(t) подставить функции X(s) и Y(s) комплексного переменного s такие, что

то исходное ДУ при нулевых начальных условиях равносильно линейному алгебраическому уравнению

Такой переход от ДУ к алгебраическому уравнению называется преобразованием Лапласа, формулы (2.2) соответственно формулами преобразования Лапласа, а полученное уравнение — операторным уравнением.
Новые функции X(s) и Y(s) называются изображениями x(t) и y(t) по Лапласу, тогда как x(t) и y(t) являются оригиналами по отношению к X(s) и Y(s).
Переход от одной модели к другой достаточно прост и заключается в замене знаков дифференциалов на операторы sn, знаков интегралов sn   на множители  , а самих x(t) и y(t) — изображениями X(s) и Y(s).

Для обратного перехода от операторного уравнения к функциям от времени используется метод обратного преобразования Лапласа. Общая формула обратного преобразования Лапласа:

где f(t) — оригинал, F(jω) — изображение при s = jω, j — мнимая единица, ω — частота.
Эта формула достаточно сложна, поэтому были разработаны специальные таблицы (см. табл. 1.1 и 1.2), в которые сведены наиболее часто встречающиеся функции F(s) и их оригиналы f(t). Они позволяют отказаться от прямого использования формулы (2.3).

Таблица 1.2 — Преобразования Лапласа

При невозможности приведения функции к табличным данным можно воспользоваться 2-ой теоремой разложения

Закон изменения выходного сигнала обычно является функцией, которую необходимо найти, а входной сигнал, как правило, известен.

Определение передаточной функции

Преобразование ДУ по Лапласу дает возможность ввести удобное понятие передаточной функции, характеризующей динамические свойства системы.
Передаточной функцией называется отношение изображения выходного воздействия Y(s) к изображению входного X(s) при нулевых начальных условиях.

Передаточная функция является дробно-рациональной функцией комплексной переменной:

где B(s) = b0 + b1s + b2 s2 + … + bm sm — полином числителя,
      А(s) = a0 + a1s + a2 s2 + … + an sn — полином знаменателя.

Передаточная функция имеет порядок, который определяется порядком полинома знаменателя (n).
Из (2.4) следует, что изображение выходного сигнала можно найти как

Y(s) = W(s)*X(s).

Так как передаточная функция системы полностью определяет ее динамические свойства, то первоначальная задача расчета АСР сводится к определению ее передаточной функции.

Последовательность действий для преобразования диф. уравнения в передаточную функцию прост. Пусть процесс описывается диф. уравнением в общем виде

где y – выходная величина;
      x – входная величина;

an, an-1, …,bm, bm-1, …,b, b0 — постоянные коэффициенты, которые определяются конструктивными особенностями и параметрами системы.Используя оператор дифференцирования p , который равен  (т.е. запись  можно представить как ), перейдем от диф. уравнения к уравнению в форме записи.

Если вынести в уравнении y(p) и x(p) за скобки можно выделить собственный оператор объекта  – Q(p) и оператор воздействия – R(p)

Передаточной функцией в операторной форме W(p) называют отношение оператора воздействия к собственному оператору при нулевых начальных условиях.

Передаточная функция W(s) получается из W(p) формальной подстановкой p=s. Такая связь между двумя формами передаточных функций справедлива только для стационарных систем!!!

Пример.

Найдем передаточную функцию

вынесем x(t) и y(t) за скобки

Поделим операторы друг на друга:

Допустим, входной сигнал имеет форму единичного ступенчатого воздействия, т.е. x(t) = 1. Тогда изображение входного сигнала

Тогда подставляем X(s):

Определяется выражение для Y:

Оригинал полученной функции отсутствует в таблице оригиналов и изображений. Для решения задачи его поиска дробь разбивается на сумму простых дробей с учетом того, что знаменатель может быть представлен в виде s(s + 2)(s + 3):

Сравнивая получившуюся дробь с исходной, можно составить систему из трех уравнений с тремя неизвестными:

Следовательно, дробь можно представить как сумму трех дробей:

Теперь, используя табличные функции, определяется оригинал выходной функции:

Временные характеристики

Одним из методов построения мат.моделей является определение реакции исследуемого объекта на стандартный сигнал.
Переходная функция – реакция системы на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях

Ступенчатое воздействие – воздействие, которое мгновенно возрастает от нуля до некоторого значения и далее остается постоянным
Ступенчатому воздействию соответствует функция

При анализе и расчете систем удобно использовать ступенчатое воздействие, у которого величина а0 = 1. Его называют единичным ступенчатым воздействием и обозначают 1(t). Математическое выражение, описывающее единичное ступенчатое воздействие, имеет вид

Импульсная характеристика – реакция системы на единичный импульс при нулевых начальных условиях.

Импульсное воздействие – одиночный импульс прямоугольной формы имеющий достаточно большую высоту и малую длительность (по сравнению с инерционностью испытываемой системы) с площадью а0.
При математическом анализе АСУ используют единичное импульсное воздействие, описываемое так называемой дельта-функцией 

Частотные характеристики

Частотные характеристики характеризуют выход системы при гармонических сигналах разной частоты.
Гармоническое воздействие – сигнал синусоидальной формы, описываемый функцией

где xm – амплитуда сигнала; ω = 2π/Т – круговая частота; Т – период сигнала.