Прямая и обратная задача кинематики шестистепенного манипулятора
Рассматривается кинематическая задача для манипулятора с шестью вращательными кинематическими парами. Для решения прямой и обратной задачи вводится специальная система координат и однородные преобразования.
Однородные преобразования
Однородными преобразованиями называют преобразования однородного вектора, осуществляющие его поворот, перенос, масштабирование, перспективное проектирование. Если ρ — однородный вектор, то однородное преобразование осуществляется следующим образом:ρ’ = Tρ , где Т — матрица однородного преобразования 4×4 (однородная матрица):
Здесь R — матрица поворота 3хЗ; p — вектор переноса, f – вектор, связанный с вектором центрального проектирования, m – коэффициент масштабирования.
Система координат
Построение системы координат Денавита — Хартенберга для манипулятора с N степенями подвижности (N +1 звено):
Шаг
1 Построение абсолютной системы координат. Построить правую ортогональную систему координат OX0Y0Z0, направив Z0 вдоль оси первого сочленения в направлении схвата.
2 Инициализация и цикл. Для всех i = l,2,…N выполнить шаги 3-6.
3 Построение Zi. Направить ось Zi вдоль оси (i+1)-го шарнира. При i = N (т.е. для схвата) выберем ось ZN в направлении оси ZN-1
4 Построение начала і-й системы. Выбрать начало і-й системы координат в точке пересечения осей Zi и Zi-1 или в точке пересечении оси Zi и общей нормали к осям Ziи Zi-1 (если оси Zi и Zi-1 не пересекаются).
5 Построение оси Хi. Направить ось Хi вдоль обшей нормали к осям Zi и Zi-1
6 Построение оси Yi . Направить ось Yiтак, чтобы полученная в результате система координат OXiYiZi была правосторонней.
7 Нахождение параметров. Для всех i = 1. 2,…, N выполнить шаги 8-11.
8 Нахождение di. Параметр di равен расстоянию от начала (i-1)-й системы координат до точки пересечения осей Zi-1 и Xiизмеренному в направлении оси Zi-1 . Если i-e сочленение телескопическое, то d является обобщенной координатой.
9 Нахождение аi. Параметр аi равен расстоянию от точки пересечения осей Zi-1 и Xi, до начала i-й системы координат, измеренному в направлении оси Xi.
10 Нахождение qi. Параметр qiравен углу поворота оси Xi-1 вокруг оси Zi-1до ее совпадения с осью Xi.
11 Нахождение αi. Параметр αi. равен углу поворота оси Zi-1 вокруг оси Xi до ее совпадения с осью Zi.
Cистема координат Денавита — Хартенберга [1].
1. Прямая задача.
Определение положения схвата манипулятора.
Шестистепенной манипулятор. Система координат.
Записываем матрицы перехода между системами координат
Учитывая, что
Получаем положение схвата:
Ориентация схвата:
2. Обратная задача.
Разбиваем систему шести уравнений на две подсистемы.
Решая эти подсистемы, получаем:
Таким образом, имеем восемь независимых решений.
Литература:
1. Зенкевич С.Л., Ющенко А.С. Управление роботами. Основы управления манипуляционными роботами — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000. — 400 с.
