8.3 Предварительная обработка и анализ экспериментальных данных
Информационной базой для анализа процессов являются динамические и временные ряды. Совокупность наблюдений некоторого явления (показателя), упорядоченная в зависимости от последовательности значений другого явления (признака), называют динамическим рядом. Динамические ряды, у которых в качестве признака упорядочения используется время, называют временными.
В общем случае каждый уровень временного можно представить как функцию четырех компонент, отражающих закономерность и случайность развития.:
— f(t) – тренд (долговременная тенденция) развития;
— S(t) – сезонная компонента;
— U(t) –циклическая компонента;
— (t)– остаточная компонента.
В ходе предварительного анализа определяют соответствие имеющихся данных требованиям, предъявляемым к ним математическими методами (объективности, сопоставимости, полноты, однородности и устойчивости); строится график динамики и рассчитываются основные динамические характеристики (приросты, темпы роста, темпы прироста, коэффициенты автокорреляции).
Для получения общего представления о динамике исследуемого показателя целесообразно построить его график. При графическом отображении динамики показателя во времени по оси абсцисс откладываются значения переменной t, а по оси ординат — соответствующие значения показателя Y(t).
К процедурам предварительного анализа относятся:
• выявление аномальных наблюдений;
• проверка наличия тренда;
• сглаживание временных рядов;
• расчет показателей развития динамики экономических процессов.
Сглаживание. Сглаживание всегда включает некоторый способ локального усреднения данных, при котором несистематические компоненты взаимно погашают друг друга. Сглаживание временных рядов.
Сглаживание временного ряда, т.е. замена фактических уровней расчетными значениями, имеющими меньшую колебаемость, чем исходные данные является простым методом выявления тенденции развития. Соответствующее преобразование называется фильтрованием.
Методы сглаживания, применяемые для предварительной обработки данных:
— метод скользящего среднего;
— медианная фильтрация;
— метод взвешенного скользящего среднего;
— метод экспоненциального сглаживания.
8.4 Идентификация по результатам измерений «вход-выход»;
8.4.1 Идентификация моделей линейных одномерных систем
Парная регрессия представляет собой регрессию между двумя переменными – y и x, т. е. модель вида:
где y – зависимая переменная (результативный признак);
x – независимая, или объясняющая, переменная (признак-фактор).
Между переменными x и y нет строгой функциональной зависимости, поэтому практически в каждом отдельном случае величина складывается из двух слагаемых:
где y – фактическое значение результативного признака;
– теоретическое значение результативного признака, найденное исходя из уравнения регрессии;ε — случайная величина, характеризующая отклонения реального значения результативного признака от теоретического, найденного по уравнению регрессии.
Случайная величина ε называется также возмущением. Она включает влияние не учтенных в модели факторов, случайных ошибок и особенностей измерения. Ее присутствие в модели порождено тремя источниками: спецификацией модели, выборочным характером исходных данных, особенностями измерения переменных.
От правильно выбранной спецификации модели зависит величина случайных ошибок: они тем меньше, чем в большей мере теоретические значения результативного признака , подходят к фактическим данным y.
К ошибкам спецификации относятся неправильный выбор той или иной математической функции для и недоучет в уравнении регрессии какого-либо существенного фактора, т. е. использование парной регрессии вместо множественной.
В парной регрессии выбор вида математической функции может быть осуществлен тремя методами:
— графическим;
— аналитическим, т.е. исходя из теории изучаемой взаимосвязи;
— экспериментальным.
При изучении зависимости между двумя признаками графический метод подбора вида уравнения регрессии достаточно нагляден. Он основан на поле корреляции. Основные типы кривых, используемые при количественной оценке связей, представлены на рис. 8.4.
Рисунок 8.4 – Основные типы кривых, используемые при количественной оценке связей между двумя переменными
Значительный интерес представляет аналитический метод выбора типа уравнения регрессии. Он основан на изучении материальной природы связи исследуемых признаков.
При обработке информации на компьютере выбор вида уравнения регрессии обычно осуществляется экспериментальным методом.
Рассмотрим простейшую модель парной регрессии – линейную регрессию. Линейная регрессия находит широкое применение в эконометрике ввиду четкой экономической интерпретации ее параметров.
Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида
Уравнение вида позволяет по заданным значениям фактора x находить теоретические значения результативного признака, подставляя в него фактические значения фактора x.
Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров – a и b. Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров a и b, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака y от теоретических минимальна:
Как известно из курса математического анализа, чтобы найти минимум функции (1.2), надо вычислить частные производные по каждому из параметров a и b и приравнять их к нулю. Обозначим через S(a, b), тогда:
После несложных преобразований, получим нормальную систему линейных уравнений для оценки параметров a и b:
Решая систему уравнений (1.4), найдем искомые оценки параметров a и b. Можно воспользоваться следующими готовыми формулами, которые следуют непосредственно из решения системы (1.4):
Параметр b называется коэффициентом регрессии. Его величина показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу.
Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. При использовании линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции rxy, который можно рассчитать по следующим формулам:
Линейный коэффициент корреляции находится в пределах: . Чем ближе абсолютное значение rxy к единице, тем сильнее линейная связь между факторами (при имеем строгую функциональную зависимость). Но следует иметь в виду, что близость абсолютной величины линейного коэффициента корреляции к нулю еще не означает отсутствия связи между признаками. При другой (нелинейной) спецификации модели связь между признаками может оказаться достаточно тесной.
Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается квадрат линейного коэффициента корреляции r2xy, называемый коэффициентом детерминации. Коэффициент детерминации характеризует долю дисперсии результативного признака y, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака:
Соответственно величина характеризует долю дисперсии y, вызванную влиянием остальных, не учтенных в модели, факторов.
После того как найдено уравнение линейной регрессии, проводится оценка значимости как уравнения в целом, так и отдельных его параметров.
Проверить значимость уравнения регрессии – значит установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальным данным и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных (одной или нескольких) для описания зависимой переменной.
Чтобы иметь общее суждение о качестве модели из относительных отклонений по каждому наблюдению, определяют среднюю ошибку аппроксимации:
Средняя ошибка аппроксимации не должна превышать 8–10%.
Оценка значимости уравнения регрессии в целом производится на основе F — критерия Фишера, которому предшествует дисперсионный анализ. В математической статистике дисперсионный анализ рассматривается как самостоятельный инструмент статистического анализа.
Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитываются t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью t-критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки:
Случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции определяются по формулам:
Нелинейные модели парной регрессии и корреляции
Если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций.
Различают два класса нелинейных регрессий:
а) Регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, например:
– полиномы различных степеней
– равносторонняя гипербола
– полулогарифмическая функция –
б) Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам, например:
– степенная
– показательная
– экспоненциальная
Регрессии нелинейные по включенным переменным приводятся к линейному виду простой заменой переменных, а дальнейшая оценка параметров производится с помощью метода наименьших квадратов
Список уроков:
