7.1 Основные понятия и особенности импульсных САУ;
7.2 Виды модуляций;
7.3 Устойчивость импульсных САУ;
7.4 Моделирование в Матлаб импульсных САУ
7.5 Нелинейные САУ: примеры, отличия, особенности.
7.1 Основные понятия и особенности импульсных САУ
Импульсные системы – это такие САУ, в которых имеются сигналы квантованные по времени.
На (рис. 7.1, а) изображен непрерывный сигнал. Но может использоваться дискретизация сигналов или квантование. Различают квантование по времени, по уровню, по времени и по уровню одновременно. При осуществлении квантования по времени (рис.7.1, б) в некоторые моменты времени отстоящие друг от друга на обычно постоянную величину Т, называемую интервалом или периодом квантования берутся значения непрерывной функции, таким образом, непрерывная функция заменяется совокупностью ординат или дискрет, соответствующих значению непрерывной функции в момент квантования.
Эта совокупность дискрет называется решетчатой функцией. Это квантование ущербно, так как при этом теряется часть информации.
Квантование по уровню и по времени одновременно. В момент времени 0,Т, 2Т, 3Т,… значению дискрет непрерывного сигнала присваивается номер ближайшего уровня. Сигнал задается таким образом: 0,1,2,3,3,3,2,1,0,-1,-1,-1.
Рисунок 7.1
Импульсную САУ можно в общем случае представить блок-схемой:
ИЭ – импульсный элемент;
НЧ – непрерывная часть.
Рисунок 7.2 – Блок-схема импульсной САУ
Основные отличия от линейных САУ
Достоинства импульсных САУ (по сравнению с непрерывными):
1. Возможность многоточечного управления. Оно состоит в том, что с помощью одного управляющего устройства импульсного действия можно управлять несколькими объектами, путем последовательного циклического подключения УУ к каждому из объектов.
2. Возможность многократного использования линий связи. Такое временное разделение каналов широко используется для управления летательными объектами.
3. Повышенная помехозащищенность. Это обусловлено тем, что информация передается в виде коротких импульсов, в промежутке между которыми система оказывается разомкнутой и не реагирует на внешние возмущения.
4. Возможность получения больших коэффициентов усиления по мощности: K=1010 ÷ 1015
7.2 Виды модуляций
Модуляция — это процесс преобразования одного или нескольких информационных параметров несущего сигнала в соответствии с мгновенными значениями информационного сигнала.
Квантование, осуществляемое ИЭ в виде преобразования непрерывного сигнала в последовательность импульсов, называется импульсной модуляцией.
Виды импульсной модуляции:
— амплитудно-импульсная модуляция (АИМ), происходит изменение амплитуды импульсов несущего сигнала (рис.7.3, в);
— широтно-импульсная модуляция (ШИМ), происходит изменение длительности импульсов несущего сигнала (рис.7.3, г);
— частотно-импульсная модуляция (ЧИМ), происходит изменение частоты следования импульсов несущего сигнала (рис.7.3, д);
— фазо-импульсная модуляция (ФИМ), происходит изменение фазы импульсов несущего сигнала (рис.7.3, е).
Временные диаграммы импульсно-модулированных сигналов представлены на рисунке 7.3
Рисунок 7.3 – Пример импульсной модуляции
Модулируемыми параметрами выходного сигнала ИЭ могут служить:
— высота (амплитуда) – А;
— ширина (длительность) импульса – τИ ;
— период повторения импульса – TП.
1. АИМ – период повторения TП= const , τИ= const , A= var – моделируемый параметр в зависимости от величины x .
2. ШИМ – A=const , TП= const , τИ=var – ширина импульса (модулируемый параметр в зависимости от величины x ).
3 ФИМ – A= const , τИ= const , TП= const , TЗ= var – запаздывание импульса относительно начала периода (модулируемый параметр в зависимости от величины x ).
4 ЧИМ–A= const , τИ= const , f П=1/TП= var – частота следования импульсов (модулируемый параметр в зависимости от величины x ).
Для математического описания импульсных систем введем понятие решетчатой функции (рис.7.4.):
дискретная функция, значения которой в начале каждого периода, т.е. в моменты времени nTП , где n=1,2,3,…, совпадают со значениями непрерывной функции, а в остальное время равны нулю, то такая дискретная функция называется решетчатой функцией.
Рисунок 7.4 – Понятие решетчатой функции
Аналогом производных непрерывных функций являются разности решетчатой функции (рис.7.5).
Рисунок 7.5 – Разности решетчатой функции
Первая разность (разность первого порядка) характеризует скорость изменения решетчатой функции и представляет собой аналог 1-й производной непрерывной функции
Δx[n]=x[n+1]-x[n]
Вторая разность
Δ2x[n]= Δx[n+1]- Δx[n] или =x[n+2]-2x[n+1]+x[n]
В общем случае разность m-порядка
Построение дискретного представления непрерывной системы носит название процесса дискретизации, или квантования, непрерывной системы. Пусть непрерывная система представлена своей внешней моделью:
При достаточно малом шаге квантования дискретизацию этой модели можно выполнить с необходимой точностью путем замены дифференциалов конечными разностями:
После подстановки в (7.1) дискретная внешняя модель системы принимает конечно-разностный вид, который после алгебраических преобразований переводится в рекуррентную форму с постоянными коэффициентами модели ai:
В общем случае функция u(k) также может представлять собой полином:
Движение дискретной модели, представленной в разностном виде, складывается из двух движений: собственного и вынужденного под действием внешнего возмущения. Собственное движение — решение однородного разностного уравнения системы. Общий вид этого решения определяется как линейная форма от собственных чисел системы:
где Сi — коэффициенты линейной формы, которые вычисляются через начальные состояния системы;
li — простые действительные корни характеристического уравнения системы:
Пример (prodav.exponenta.ru/otu/doc/manreg06.doc). Непрерывная система описывается дифференциальным уравнением:
y»(t) + 5у'(t) + 6у(t) = u(t); у(0) = 1 ; у'(0) = 0,5.
Выполним с шагом квантования Δt = 0,1 разностную дискретизацию уравнения:
100(у(k+2) – 2y(k+1) + y(k)) + 50(y(k+1) – y(k)) + 6y(k) = u(k).
После преобразований получим искомую дискретную модель в рекуррентном виде:
у(k+2) – 1.5 у(k+1) + 0,56 у(k) = 0,01 u(k).
Характеристическое уравнение системы:
l2 — 1.5 l + 0.56 = 0.
Корни уравнения: l1 = 0.8, l2 = 0.7. Соответственно, собственное движение модели:
у(k) = С0 0.8k + C1 0.7k.
Постоянные С0, С1 найдем, используя координаты начального состояния системы:
у(0) =С0 + С1 = 1; у(1) = C0 0.8 + C1 0.7.
Значение у(1) определим, используя первую разность:
у'(0) = 10 (y(1)-y(0)) = 0.5. y(1) = 1.05
Отсюда: С0 = 3.5, С1 = -2.5. y(k) = 3.5 0.8k – 2.5 0.7k.
Передаточная функция приведенной непрерывной части вычисляется как:
где Wпнч(s) — передаточная функция приведенной непрерывной части;
Wфз(s)- передаточная функция формирующего звена;
Wнч(s)- передаточная функция непрерывной части.
Для расчета дискретной передаточной функции импульсной системы по известной передаточной функции приведенной непрерывной части используют оператор ZT:
Оператор ZT каждой функции Y(s) = L{y(t)} ставит в соответствие функцию Y*(z) = Z{y[lTu]} , т.е. Y*(z) = Z{Y(s)} .
Оператор ZT является линейным и соответствует трем последовательным операциям:
а) обратное преобразование Лапласа Wпнч → ωпнч(t) → ωпнч[lTi];
б) квантование по времени с периодом : Ti: ωпнч(t) → W*(z);
в) Z — преобразование ωпнч[lTi].
Если передаточная функция приведенной непрерывной части равна где полиномы m-й и n-й ступеней (m<n), а полюса sv, v = 1, n, функции простые (некратные), то
7.3 Устойчивость импульсных САУ
Как и для систем непрерывного времени, под устойчивостью дискретной системы понимают ее способность возвращаться в положение равновесия после окончания действия внешних факторов. Рассматривается свободное движение управляемой системы, либо движение автономной системы при ненулевых начальных условиях.
Понятия устойчивости линейных дискретных систем практически полностью идентичны соответствующим понятиям непрерывных систем. Критерии устойчивости дискретных систем легко выводятся из соответствующих положений непрерывной теории, если принять во внимание, что полюсы zi дискретной системы связаны с полюсами pi эквивалентной непрерывной модели соотношением zi = ехр(Трi).
Устойчивость линейной импульсной САУ зависит от ее характеристического уравнения:
Чтобы отличить приведенное характеристическое уравнение от характеристического уравнения непрерывной системы неизвестная переменная обозначается той же буквой, что и переменная z-преобразования, хотя она имеет другой смысл.
Левая часть характеристического уравнения называется характеристическим полиномом. Характеристический полином разомкнутой импульсной САУ с передаточной функцией совпадает с ее собственным оператором и знаменателем ее передаточной функции
Характеристический полином замкнутой системы (при единичной отрицательной обратной связи) равна сумме полиномов числителя и знаменателя передаточной функции разомкнутой системы:.
Необходимое и достаточное условие устойчивости: для того чтобы линейная импульсная САУ была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения были по модулю меньше 1:|zi|
Рисунок 7.6 – Комплексная плоскость z-корней
Критерии устойчивости импульсных САУ должны определять, находятся ли все корни характеристического уравнения внутри единичной окружности, не вычисляя их. Для того, чтобы можно было оценить устойчивость импульсных систем с помощью критериев устойчивости, разработанные для непрерывных систем, необходимо применить v-преобразование:
При v-преобразовании окружность единичного радиуса на плоскости z переходит в мнимую ось на v-плоскости, а внутренность единичного круга на z-плоскости — в левую полуплоскость на v-плоскости.
Подставим в характеристическое уравнение импульсной системы и после преобразования получим уравнение:
где Ai определяют через коэффициенты ai.
По свойствам v-преобразования, для того чтобы импульсная САУ была устойчивой, т.е. все корни характеристического уравнения (7.6) находились внутри единичного круга, необходимо и достаточно, чтобы все корни уравнения (7.7) имели отрицательные действительные части, то есть были левыми.
Поэтому если воспользоваться уравнением (7.7), то для исследования устойчивости импульсных САУ можно использовать все известные алгебраические критерии устойчивости.
Критерий Гурвица: для того, чтобы импульсная система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица составленные из коэффициентов полученного характеристического уравнения (7.7) были больше 0 при а0 больше 0.
Критерий Льенара-Шипара: для того, чтобы система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица с четными или нечетными индексами составленные из коэффициентов полученного характеристического уравнения (7.7) были больше 0 при а0 больше 0.
Для того, чтобы оценить устойчивость импульсной САУ с помощью частотных критериев, которые разработаны для непрерывных САУ, в дискретную передаточную функцию разомкнутой импульсной системы W*p(z) необходимо сделать подстановку:
Подставив в (7.7) v = jω* получим псевдочастотную дискретную передаточную функцию:
ω* — псевдочастота.
Переменная ω* является аналогом частоты ω, но не имеет физического смысла частоты. Точно также функция является аналогом частотной передаточной функции, но никакого физического содержания не выражает.
Характеристики, построенные по , называют псевдочастотными характеристиками.
При исследовании устойчивости импульсной САУ с помощью критерия устойчивости Михайлова необходимо:
а) составить характеристическое уравнение импульсной САУ по известной передаточной функцией;
б) применить преобразование и получить характеристическое уравнение в V-переменных;
в) в полученное характеристическое уравнение сделать подстановку v = jω* и разделить функцию на действительную и мнимую части
г) построить кривую Михайлова по критерию устойчивости Михайлова сделать вывод о стойкости системы.
Псевдочастотный критерий устойчивости Михайлова: для того, чтобы импульсная система автоматического управления была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы кривая Михайлова при изменении частоты ω* от 0 до начиналась на действительной положительной полуоси, обходила против часовой стрелки последовательно квадрантов координатной плоскости, где — порядок характеристического уравнения , не попадая в начало координат.
Псевдочастотный критерий Найквиста: для того, чтобы замкнутая импульсная система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы псевдочастотная амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы с ростом ω* от 0 до + ∞ охватывала точку (-1;j0 в положительном направлении (против движения часовой стрелки) l/2 раз, где l — это количество корней характеристического уравнения разомкнутой импульсной системы в V-переменных, которые находятся в правой полуплоскости.
При исследовании устойчивости замкнутой импульсной САУ с помощью критерия устойчивости Найквиста необходимо:
а) составить характеристическое уравнение разомкнутой импульсной САУ по известной передаточной функцией;
б) применить преобразование и получить характеристическое уравнение в V-переменных;
в) найти корни характеристического уравнения и рассчитать l;
г) в дискретную передаточную функцию разомкнутой импульсной системы W*p(z) сделать подстановку и получить
д) в полученную функцию подставить и рассчитать псевдочастотную дискретную передаточную функцию
е) построить псевдочастотную амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой импульсной системы и по критерию устойчивости Найквиста сделать вывод об устойчивости замкнутой системы.
Предыдущий урок
Список уроков:
7. ИМПУЛЬСНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ САУ
6 СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРОВ
