6.4 Коррекция системы по ЛАЧХ
Самым популярным инженерным методом синтеза регуляторов являлся метод, основанный на использовании логарифмических частотных характеристик (ЛАЧХ и ЛФЧХ). Он основан на двух свойствах логарифмических частотных характеристик:
1) логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики для последовательного соединения двух блоков равны сумме ЛАЧХ и ЛФЧХ этих блоков;
2) если передаточная функция объекта не имеет неустойчивых нулей и полюсов (с положительной вещественной частью), то амплитудная частотная характеристика однозначно определяет фазовую; отсюда следует что можно свести выбор регулятора к изменению только амплитудной характеристики нужным образом.
Этот метод предполагает изменение структуры САУ путем введения в нее корректирующей звена для обеспечения нужных показателей качества. При этом возникает задача синтеза корректирующего звена по заданным показателям качества. Корректирующую звено можно включить в систему — последовательно, параллельно и в виде обратной связи (рис.6.7).
а) последовательное; б) параллельное; в) встречно-параллельной (в обратную цепь)
Рисунок 6.7 – Схемы включения корректирующего звена
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАЧХ) определяется по формуле: L(ω)=20•lg[A(ω)].
Величина L называется логарифмическим коэффициентом усиления по амплитуде и имеет специальную единицу изменения децибел (дБ). АЧХ показывает, во сколько раз изменяется амплитуда, а значение ЛАЧХ – на сколько децибел изменяется амплитуда. Рассмотрим связь между обычным и логарифмическим коэффициентом усиления.
Т.о. изменение амплитуды на 20 децибел означает ее изменение в 10 раз. Обратный перевод можно осуществить по формуле:
Построение логарифмической амплитудно-частотной характеристики (ЛАЧХ) последовательного корректирующего звена проводят в такой последовательности:
1) строится ЛАЧХ заданной (нескорректированная) системы;
2) строится желаемая ЛАЧХ по заданным показателям качества переходного процесса;
3) строится ЛАЧХ последовательного корректирующего звена путем графического вычитания ЛАЧХ заданной системы из желаемой ЛАЧХ;
4) по виду ЛАЧХ корректирующего звена определяется его передаточная функция.
Рассмотрим последовательно все этапы.
Этап 1.
Для того, чтоб построить асимптотическую ЛАЧХ необходимо передаточную функцию разомкнутой системы привести к определенному виду
Необходимо многочлен числителя и знаменателя представить в виде произведения множителей. Это можно сделать с использованием теоремы.
Любой многочлен степени n вида представляется произведением постоянного множителя при старшей степени и an линейных множителей (x-xi), i = 1, 2, …, n, то есть , причем xi, i = 1, 2, …, n, являются корнями многочлена.
Эта теорема сформулирована для комплексных корней xi и комплексных коэффициентов. Она является основой для разложения любого многочлена на множители.
В Маткаде есть встроенная операция Factor Expression (разложить на множители), которая используется разложения выражений или чисел на простые множители (рис.6.8).
Рисунок 6.8 –Фрагмент окна Маткад, операция Factor
Однако, если при разложении корни многочлена не рациональные числа, то операция не выполняется и выдается ошибка. Тогда рассмотрим, как применить теорему о разложении с использование Маткада (рис.6.9 – 6.11).
Рисунок 6.9 – Нахождение корней знаменателя
Рисунок 6.10 – Определение коэффициента усиления передаточной функции
Рисунок 6.11 – Определение постоянных времени передаточной функции
После приведения передаточной функции к требуемому виду займемся построением асимптотической ЛАЧХ.
Методика построения асимптотической ЛАЧХ разомкнутой САУ:
— вычисляют частоты сопряжения где Ti — постоянные времени отдельных звеньев;
— вычисляют коэффициент усиления разомкнутой САУ в дБ , где — коэффициент усиления системы;
— откладывают величину 20ln k на частоте ω0 вычисленные частоты сопряжения обозначают вертикальными пунктирными линиями;
— через точку с координатами ω = 1 (учитываем, что ось абсцис представлена в декадах – логарифм частоты ω = 0 равен «1») и 20ln k проводят первую асимптоту; ее проводят до первой частоты сопряжения ω1 с наклоном -v•20 дБ/дек, где v степень астатизма САК, которая определяется как разница между количеством интегрирующих и дифференциальных звеньев;
— строят вторую асимптоту с конца первой асимптоты к частоте сопряжения ω2, причем ее наклон меняется на (+20); (-20); (+40); (-40) дБ/дек в зависимости от того, является ω1 частотой сопряжения форсирующей, апериодической, форсирующей второй степени или колебательного звена соответственно (проще говоря: если звено (Tis+1) стоит в числителе – наклон (+20) дБ/дек, если в знаменателе (Tis+1)2 (-20) дБ/дек, если то изменение происходит на 40 дБ/дек – стоит в числителе положительный наклон, в знаменателе – отрицательный);
— каждую последующую асимптоту строят аналогично второй.
Если любая частота сопряжения является кратной, а ее кратность равна , то есть одинаковых элементарных звеньев, то изменение наклона для этой частоты в раз больше, чем при соответствующей простой частоте.
Удобно результаты расчетов представлять в виде таблицы 6.1.
Таблица 6.1 – Расчет
Этап 2.
Построение желаемой ЛАЧХ. При построении желаемой ЛАЧХ выделяют три области: низкочастотную область, средне частотную и высокочастотную (рис.6.12). Низкочастотная асимптота желаемой ЛАЧХ совпадает с первой асимптотой заданной ЛАЧХ. Это объясняется тем, что низкочастотная асимптота характеризует точность работы системы в установившихся режимах. Область средних частот определяет динамические свойства системы (быстродействие, колебательность) Высокочастотная асимптота на качество системы не влияет, поэтому для простоты корректирующей звенья ее выбирают совпадающей или параллельной высокочастотной составляющей заданной ЛАЧХ.
Рисунок 6.12 – Области частот
Ось частоты можно откладывать в логарифмической масштабе, а можно и в частотном (рис.6.13).
Рисунок 6.13 – Варианты шкалы частотной оси на ЛАЧХ
Только следует помнить и не путать, если вы собрались работать в логарифмическом масштабе, то не обходимо вычисленные значения частот переводить в логарифм. И на оборот – если вы хотите определить частоту по графику – не обходимо значение оси абсцисс.
Асимптота в области средних частот строится под наклоном (-20) дБ / дек через частоту среза которая определяется по заданным показателям качества tpσmax, (табл.6.2).
Таблица 6.2 – Таблица значений
Частота w2, ограничивающая область средних частот желаемой ЛАЧХ слева от частоты среза определяется значением отрезка L1, которая определяется в зависимости от заданной величины σmax из таблицы 6.2. Частота w3, которая ограничивает, область средних частот справа от частоты среза, определяется величиной отрезка L2 из условия |L2| ≥ L1. Асимптоты, соединяющие асимптоту в области средних частот с низкочастотной асимптотой проводят через w2 с наклоном (-40 или -60 дБ/дек).
По виду желаемой ЛАЧХ записывают передаточную функцию непрерывной (желаемой) системы.
Этап 3 и 4.
ЛАЧХ последовательного непрерывного звена строится путем графического вычитания из ЛАЧХ желаемой ЛАЧХ заданной системы. По виду ЛАЧХ нужно записать передаточную функцию корректирующего звена.
Передаточную функцию корректирующего звена возможно также получить если разделить передаточную функцию желаемой системы Wбаж(s) на передаточную функцию заданной W3(s).
После определения передаточной функции корректирующего звена необходимо обязательно проверить качество синтезированной системы по ее переходной характеристике. При этом следует учитывать, что время регулирования tp обратно пропорционален частоте среза wc (таким образом для уменьшения tp необходимо увеличить wc) и перерегулирование тем меньше, чем дальше отстоят от частоты среза wc, частоты w2 и w3.
Пример. Синтезировать систему автоматического управления с передаточной функцией и заданными показателями качества (вас регулирования tp=0,2 с, перерегулирование σmax).
Передаточная функция имеет вид:
Построим ЛАЧХ заданной системы.
Отметим точку w=1 с-1,L(w)=20ln k = 20lg 500 ≈ 54 дБ (рис. 6.14,L3 ).
Поскольку в знаменателе переменная s в первой степени, то наклон первой асимптоты дБ/дек дБ/дек.
Найдем частоты сопряжения асимптотической ЛАЧХ
4) В первой частоте сопряжения наклон асимптоты изменится на (-20) дБ/дек и станет равным (-40) дБ / дек. На второй частоте сопряжения наклон асимптоты вновь изменится на (-20) дБ / дек и станет равным (-60) дБ/дек.
Асимптотическая ЛАЧХ заданной разомкнутой системы приведена на рис.6.14 L3.
Построим желаемую ЛАЧХ (на рис. 6.14 Lбаж ).
Из таблицы 6.2 для σmax = 20% определяем, что откуда вычисляем частоту среза желаемой ЛАЧХ .
2) Нанесем на ось абсцисс частоту среза wc и проведем через нее отрезок с наклоном (-20) дБ/дек (рис. 6.14,Lбаж ).
3) Найдем w2ж и w3ж . По таблице 6.2 определим, что L1 = 1,3 дБ. Частота для которой ордината равна 13,5 дБ и будет w2 = 9,2 с-1. Выберем L2 = 15 дБ, тогда w3 = 400 с-1.
Рисунок 6.14 – Асимптотические ЛАЧХ системы
4) Соединяем низкочастотную асимптоту с асимптотой в средне частотной области линией с наклоном (-40) дБ / дек.
5) Высокочастотную асимптоту строим параллельной высокочастотной асимптот заданной ЛАЧХ, таким образом с наклоном (-60) дБ / дек.
По виду желаемой ЛАЧХ возможно записать передаточную функцию:
ЛАЧХ последовательного корректирующего звена строим путем графического вычитания из ЛАЧХ желаемой ЛАЧХ заданной системы (на рис.6.14 Lкор), т.е.
По виду ЛАЧХ корректирующего звена записываем передаточную функцию звена
Проводим моделирование полученной системы с последовательной корректирующей звеном с целью получения прямых показателей качества. Полученные показатели качества удовлетворяют заданным.
