Башлий Серж .

8 ИДЕНТИФИКАЦИЯ МОДЕЛИ САУ (часть 1)

8.1 Основные понятия идентификации
8.2 Типовые модели САУ
8.3 Предварительная обработка и анализ экспериментальных данных
8.4 Идентификация по результатам измерений «вход-выход»;
8.5 Использование MatLab для идентификации моделей САУ.

 

8.1 Основные понятия идентификации

Основное содержание науки идентификации – построение математических моделей того или иного типа на основе результатов наблюдений за поведением объектов и исследование их свойств составляет. Идентификация является одной из базовых разделов теории управления.

Задача идентификации сводится к определению структуры и оператора модели, преобразующего входные воздействия объекта в выходные величины.
Оператор объекта является его математической формализацией, т.е. математической моделью объекта, и может быть определен в соответствующих пространствах функций.
Операторы могут характеризоваться разными структурой и характеристиками, и соответственно, задача идентификации объекта может иметь различные постановки.

Построение математической модели может производится тремя способами:
1. Аналитический – модель ОУ получают на основании законов.
2. Экспериментальный – построение математической модели на основе статистической обработки входной информации.
3. Экспериментально-аналитическая – физическая модель, полученная аналитически, уточняется экспериментально.

Схема перехода от модели «черный ящик» при идентификации объекта

Рисунок 8.1 – Схема перехода от модели «черный ящик» при идентификации объекта

 

Обобщенная процедура идентификации
1. Классификация объекта.
2. Выбор для определенного класса объекта настраиваемую модель, то есть модель, структуру и параметры которой можно менять в процессе идентификации.
3. Выбрать критерий (оценку) качества идентификации, характеризующий в виде функционала доступных для наблюдения переменных отличие модели и объекта.
4. Выбрать алгоритм идентификации (механизм настройки модели), обеспечивающий сходимость процесса идентификации, минимум критерия качества идентификации.
Процедура идентификации может быть представлена схемой рис.8.2.

Схема процедуры идентификации

Рисунок 8.2 – Схема процедуры идентификации

 

Математическое моделирование включает три взаимосвязанных этапа:
1) составление математического описания изучаемого объекта;
2) выбор метода решения системы уравнений математического описания и реализация его в форме моделирующей программы;
3) установление соответствия ( адекватности) модели объекту.
На этапе составления математического описания предварительно выделяют основные явления и элементы в объекте и затем устанавливают связи между ними. Далее, для каждого выделенного элемента и явления записывают уравнение, отражающее его функционирование. Кроме того, в математическое описание включают уравнения связи между различными выделенными явлениями. В зависимости от процесса математическое описание может быть представлено в виде системы алгебраических, дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений.
Построенная на основе физических представлений модель должна верно качественно и количественно описывать свойства моделируемого процесса, т.е. она должна быть адекватна моделируемому процессу. Для проверки адекватности математической модели реальному процессу нужно сравнить результаты измерений на объекте в ходе процесса с результатами предсказания модели в идентичных условиях.
Методы идентификации активная идентификация – идентификация вне контура управления, пассивная идентификация – идентификация в контуре управления.

Методы идентификации принято разделять на две группы:

• активная идентификация – идентификация вне контура управления,
• пассивная идентификация – идентификация в контуре управления.

Активная идентификация

В этом случае объект исследования выводится из условий нормальной окружающей среды (нормальный режим эксплуатации, номинальные параметры рабочего режима и т. п.). Исследования проводятся в специализированных лабораторных условиях, как это показано на рис. 4. На входы объекта (рабочие и дополнительные) подаются тестовые сигналы специального вида. Это могут быть:

• ступенчатые и импульсные временные сигналы,
• гармонические сигналы,
• случайные воздействия с заданными параметрами.

Активную идентификацию используют при разработке новых технологий применительно к действующим промышленным объектам, в изучении новых явлений, в первоначальной разработке математической модели.

Схема проведения активной идентификации

Рисунок 8.3 – Схема проведения активной идентификации

 

Пассивная идентификация
При пассивной идентификации объект функционирует в контуре управления, находится в процессе нормальной эксплуатации. На его входы поступают только естественные сигналы управления.
Пассивную идентификацию используют для уточнения математической модели, для слежения за изменениями в объекте. Информация оперативно используется в системе управления объектом.

Схема проведения пасивной идентификации

Рисунок 8.4 – Схема проведения пасивной идентификации

 

Кроме перечисленных групп методов реализуются и системы идентификации смешанного типа, когда объект не выводится из нормального режима эксплуатации, но к управляющим сигналам добавляются тестовые воздействия, позволяющие идентифицировать объект, не ухудшая качества основного процесса управления.
Отдельно следует выделить компьютерную идентификацию моделей, которая производится с использованием современных программных продуктов.


Компьютерная идентификация – алгоритмическая процедура, в результате выполнения которой моделирующая программа получает численные значения коэффициентов модели, структура которой и параметры были выбраны пользователем произвольно. Искомые коэффициенты могут быть представлены либо в форме ABCD-матриц, либо в форме коэффициентов полиномов числителя и знаменателя передаточной функции.
Цель поиска коэффициентов состоит в предоставлении исходных данных для частотного, корневого и других видов анализа. Классификация моделей объектов управления

Вид математической модели зависит как от природы реального объекта, так и задач исследования объекта и требуемой достоверности и точности решения этой задачи. Любая математическая модель, как и всякая другая, описывает реальный объект лишь с некоторой степенью приближения к действительности.
Существует несколько основных типов:
- физические и математические .
Физические модели – модели в которых свойства реального объекта представляются характеристиками вещественного объекта той же или аналогичной природы.

Математические – модели, в которых для описания характеристик объекта используются математические конструкции.
- одномерные и многомерные.
Одномерные – объекты, имеющие один вход и один выход
Многомерные – объекты имеют несколько входов и несколько выходов
- Статические и динамические
Статический объект – объект, у которого реакция на входное воздействие не зависит от предыстории, от поведения системы в прошлом и от предыдущих значений выхода.
Динамические – если выходное воздействие зависит не только от воздействия в текущий момент времени, но и от предыдущих значений входа. Матем. модели динамических объектов задают его поведение во времени.
- детерминированные и стохастические
Детерминированный объект - состояние которого для любого момента времени t и выходной сигнал могут быть однозначно определены и рассчитаны с точностью средств измерения /вычислений/. Детерминированный объект описывается моделями в виде дифференциальных уравнений, алгоритмических уравнений, которые могут быть решены для любого t .
Стохастический объект - состояние которого и выходные сигналы для любого момента времени t могут быть заданы лишь распределениями вероятностей состояний на множестве возможных состояние и вероятностями появления тех или иных сигналов на множестве всех возможных сигналов. Таким образом может быть задано наиболее вероятное состояние математического ожидания и соответствующие характеристики.
Стохастические объекты разбиваются на 4 класса по сложности описаний:
1 класс - стохастические объекты со случайными входами
2 класс - стохастические объекты со случайными выходами
3 класс - стохастические объекты со случайными переходами
4 класс - стохастические объекты со случайными начальными состояниями
- линейные и нелинейные


Объект называется линейным, если для него справедлив принцип суперпозиции, т.е. реакция объекта на линейную комбинацию (суперпозицию) двух входных воздействий равна той же самой комбинации реакций данного объекта на каждое из воздействий. В противном случае объект считается нелинейным
- дискретные и непрерывные
Объект называется непрерывным, если состояния его входных и выходных воздействий изменяется или измеряется непрерывно в течение определенного промежутка времени.
Объект называется дискретным , если состояние его выходов и входов определено лишь в дискретные моменты времени.

Для описания дискретных систем используются решетчатые функции, являющиеся аналогами непрерывных функций, и разностные уравнения, являющиеся аналогами дифференциальных уравнений.
- стационарные и нестационарные
Объект называется стационарным, если его реакция на одинаковые входные воздействия не зависит от времени приложения этих воздействий, т.е. параметры такого объекта не зависят от времени. В противном случае говорят, что объект нестационарен .
- сосредоточенные и распределенные
Объект называется объектом с сосредоточенными параметрами, если его входные и выходные величины зависят только от времени (только от одной переменной). Модели объектов с сосредоточенными параметрами содержат одну или несколько производных по времени от переменных состояния и представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения.
Объект называется объектом с распределенными параметрами, если выходная величина зависит от нескольких переменных - от времени и от пространственных координат. Такая ситуация обычно имеет место, когда исследуемая характеристика объекта, например, температура, концентрация вещества и т.п., распределена в некотором объеме. В этом случае математическая модель объекта содержит частные производные и описывает как динамику процесса во времени, так и распределенность характеристики в пространстве.

8.2 Типовые модели САУ

Модели линейных объектов могут быть представлены в виде:
- дифференциальных уравнения (модель составляется на основе физических законов);
- модели «пространства состояний»;
- передаточной функции;
- АРСС-модели (модель авторегрессии и скользящего среднего)
Более детально можно посмотреть в книге Полякова К.Ю. «ТАУ для чайников» на стр.20-33.

Упрощенная схема двигателя постоянного тока

Рисунок 8.3 – Упрощенная схема двигателя постоянного тока

 

Построим модель двигателя постоянного тока, используя законы механики и электротехники. Вход этого объекта – напряжение якоря u (t) (в вольтах), выход – угол поворота вала θ (t ) (в радианах).
Вал двигателя начинает вращаться, когда приложено напряжение питания. Если напряжение не меняется, угловая скорость вращения ω(t) (в радианах в секунду) остается постоянной, при этом угол θ(t) равномерно увеличивается.
Чем больше напряжение, тем быстрее вращается вал. Если зажать вал рукой (или подключить нагрузку, например, заставить двигатель вращать турбину), скорость вращения постепенно уменьшается до нового значения, при котором вращающий момент двигателя будет равен моменту сопротивления (нагрузки). Пока эти моменты равны, скорость вращения остается постоянной и ее производная равна нулю.
Теперь переведем эти рассуждения на строгий язык математики. Угловая скорость вращения ω(t) вычисляется как производная от угла поворота вала θ(t), то есть

Соответственно, угол θ(t) – это интеграл от угловой скорости. В механике уравнение вращательного движения обычно записывают в виде

где M(t) – вращающий момент (измеряется в H•м),
MH(t) – момент нагрузки (возмущение, также в H•м).
J – суммарный момент инерции якоря и нагрузки (в кг•м2).
Величина момента инерции говорит о том, насколько легко «разогнать» двигатель (чем больше момент инерции, тем сложнее «разогнать»). В нашем случае момент M (t) – это электромагнитный момент двигателя, который вычисляется по формуле

где CM – коэффициент, Φ– магнитный поток, создаваемый обмоткой возбуждения (измеряется в веберах); i(t) – ток якоря (в амперах), который может быть найден из уравнения

где e(t) – электродвижущая сила (ЭДС) якоря (в вольтах) и R– сопротивление якорной цепи (в Ом). В свою очередь, ЭДС рассчитывается через магнитный поток и частоту вращения:

где Cω – коэффициент. Вводя новые постоянные  и  , можно записать модель двигателя в виде системы уравнений

Модель описывает связи реальных сигналов в системе, ее внутреннее устройство.
Если нам необходимо знать, как будет реагировать объект на заданный входной сигнал (управление) мы рассматриваем объект в качестве «черного ящика». Подставив второе уравнение из системы в третье, найдем i(t) и подставим в первое уравнение. Переходя к переменной θ(t), получаем:

Перенесем все члены, зависящие от θ(t) , в левую часть равенства и получаем уравнение «вход выход», т.к. это дифференциальное уравнение второго порядка связывает вход u(t) и нагрузку MH (t) с выходом θ(t).

Для того, чтобы было легче исследовать модель объекта, желательно привести ее к некоторому стандартному виду, для которого уже есть готовые общие решения. Таким «стандартом» в теории управления считается система дифференциальных уравнений первого порядка, которая называется нормальной формой Коши.
Рассматривая модель двигателя, считая что нагрузки нет, т.е. MH (t)=0, вспомнив, что  можно записать

Эта система диф. уранений может быть записана в матричной форме

Выходная координата для двигателя постоянного тока– это угол поворота вала, тогда

Переход модели к виду передаточной функции можно осуществить следующим образом, сначала в модели «пространства состояний» произвести преобразование Лапласа, а далее использовать следующее выражение


 

Читать далее...

Предыдущий урок


 

Список уроков:

7. ИМПУЛЬСНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ САУ

6 СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРОВ

5 КАЧЕСТВО СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ


Похожие посты:

8 ИДЕНТИФИКАЦИЯ МОДЕЛИ САУ (часть 2)

8 ИДЕНТИФИКАЦИЯ МОДЕЛИ САУ (часть 3)

0
Комментировать
Введите код: